じっくり考える問題

普通の問題は、1問あたり、25分~30分程度で解くことを前提にされていますが、ここでは難し目の問題をじっくり解いてみてください。
一般入試ではありませんが、これも入試問題です。

【問題1】

全ての実数\(x\)に対して定義された関数\(f(x)\)で、必ずしも連続ではない関数を考えます。
この関数が、\(f(x+y)=f(x)+f(y)\) \(f(xy)=f(x)f(y)\) \(f(1)=1\)
を満たすとします。

(1) 全ての有理数\(x\)に対して、\(f(x)=x\)であることを示してください。
(2) 実数\(x,y\)について、\(x≦y\)ならば\(f(x)≦f(y)\)であることをしめしてください。
(3) 全ての\(x\)に対して、\(f(x)=x\)であることを示してください。

【問題2】

数列 \(a_n\)を、\(a_n=n!/(\sqrt{n}n^ne^{-n})\) で定めます。

\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n=\sqrt{2π}\)

であることが知られています。これを次の手順でしめしてください。

(1) \(b_n=2^{2n}(n!)^2/(\sqrt{n}(2n)!)\) で定めます。
\(0<x<π/2\)のとき、\(sin^{2n+1}x<sin^{2n}x<sin^{2n-1}\)であることを用いて、

\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_n=\sqrt{π}\) であることを示してください。

(2) 全ての自然数\(n\)に対して、
\(0<log(a_n/a_{n+1})<100/(n(n+1))\)であることを示してください。

(3) \(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n/a_{n+1}=1\) であることを示してください。

(4) \(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n=\sqrt{2π}\) を示してください。

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