ド・モルガン－集合・論理の問題の解答－

集合論・論理の難関大受験数学

センター試験では、この分野は頻出です。（2015年から、センター試験は廃止され、新テストになります。)

難関大の２次試験では、集合論はやや難しく、論理命題は、対偶や背理法を使うような問題がよく出ます。講義、問題は次のリンクです。ド・モルガン-集合と論理-

集合論問題の解答

【問題１】

平面上に直線の集合\(S\)が与えられています。２点\(A,B\)が一致するか、または直線\(AB\)が\(S\)に属するとき、\(A～B\)と書くことにします。

\(S\)が次の２つの条件を満たすとき、\(S\)は平面上の全ての直線を含むことを
証明してください。

(1)\(S\)は少なくとも1組の2直線で交わる
(2)3点\(A,B,C\)について、\(A～B,B～C\)ならば、\(A～C\)である
（岐阜大）

【解答１】

(1)より、\(S\)は、点\(Ｏ\)で交わる2直線\(a、b\)を含む。
平面上の直線を\(l\)とすると、\(lとa,b\)との位置関係について、以下の3通りの場合があります。

①　\(lが、a,b\)でできる\(△OAB\)を作る場合

\(A～O、O～A\)ですから、（2)より、\(A～B\)

②　\(lがO\)を通る場合
\(l\)上の\(O\)点と異なる１点\(P\)を通り、\(a,b\)と\(Ｏ\)以外の点\(A,B\)で
交わる直線\(m\)を引くと、\(A～Ｏ、Ｏ～B\)より、\(A～B\)となり、
\(ｍはS\)に含まれます。
よって、\(Ｏ～A、A～P\)より、\(O～P\)となりますから、\(lはS\)に含まれ
ます。

③　\(lがa,b\)の1方に平行な場合
\(ａ//ｌ\)とすると、\(ｌとＢ\)の交点を\(Ｂ\)とします。
\(Ｏを通りｌ\)と\(Ｐ\)で交わる直線\(m\)を引くと、②より、\(ｍはS\)
に含まれ、①より、\(ｍはS\)に含まれます。

①、②、③から、\(S\)は全ての平面を含みます。

注）抽象的で分かりにくいですが、じっくり場合分けすればできます。

【問題２】

「どんな実数\(x\)に対しても、それぞれ適当な実数ｙをとると、\(ax≠by\)となる」
という命題が成り立たないためには、以下の命題は、どういう条件か判定してください。

(1)どんな実数\(x\)をとっても任意の実数\(y\)にたいして、\(ax=by\)となる。

(2)どんな実数\(x\)に対してもそれぞれ適当な実数\(y\)をとれば、\(ax=by\)となる。

(3)適当な実数\(x\)をとれば、どんな実数\(y\)に対しても\(ax=by\)となる。

(4)適当な実数\(x\)をとれば、適当な実数\(ｙ\)に対して、\(ax=by\)となる。
（東大）

【解答2】

解答のみ書いておきます。

(1)十分であるが必要ではない条件。

(2)必要でもじゅうぶんでもない条件。

(3)必要かつ十分な条件。

(4)必要であるが十分ではない条件。