図形に関する問題-解答編

図形に関する問題

以前の「図形に関する問題」で、平面図形の問題と空間図形の問題を提案いたしましたが、解答を書いておきます。関連記事になります。図形に関する問題

平面図形の問題の解答

【問題1】
三角形ABCにおいて、3辺AB,BC,CAの長さがそれぞれ1、2、xだとします。この時次の問いに答えてください。
(1)三角形ABCの面積を最大にするxの値はいくらですか。
(2)三角形ABCの内角Cを最大にするxを求めてください。また、このときの最大値を求めてください。(神戸大)

【解答1】
それほど難しくはありません。
(1)B,Cを固定してAを動かすと、AはBを中心とする半径1の円上にあります。△ABC=1/2・AB・BC・sinB=sinBですから、この最大値は1で、∠B=90°です。よって、x=\(\sqrt{1^2+2^2}\)=\(\sqrt{5}\) となります。
(2) ∠Cの最大値は、30°ですから、x=\(\sqrt{2^2-1^2}\)=\(\sqrt{3}\)となります。(余弦定理からでも求まります。)

【問題2】
座標空間において、直線lは2点A(1,1,0)、B(2,1,1)を通り、直線mは2点C(1,1,1)、D(1,3,2)を通るとします。定点E(2,0,1)を通りl、mの両方と交わる直線nを求めてください。また、lとnの交点、mとnの交点を求めてください。(東大)

【解答2】
lとnの交点をP、mとnの交点をQとします。\(\overrightarrow{ OP}=\overrightarrow{ OA }+t\overrightarrow{ AB }=(t+1,1,t)\) また、\(\overrightarrow{ OQ }=\overrightarrow{ OC }+s\overrightarrow{ CD}=(1,2s+1,s+1)\) となります。ここで、t,sは実数です。3点EPQは同一直線上にありますから、\(\overrightarrow{ EP }=k\overrightarrow{ EQ}\)が成り立ちますから, \((t-1,1,t-1)=k(-1,5s-1,s+1)\) が成り立ちます。よって、\(s=-1,k=-1、t=2\) となります。よって、l,mの交点は、(1,-1,0)、m,nの交点は(1,-1,0)となります。
また、直線nは、直線PQです。\(\overrightarrow{ QP }\)=\((2,2,2)=2(1,1,1)\)ですから、直線nは、
\(\overrightarrow{ OQ }+t(1,1,1)=(1,-1,0)+t(1,1,1)\) です。

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