微積分の問題－解答編－

数Ⅲの微積分の問題

数学の２次試験では、数Ⅲの分野の問題が多く出題されます。なかでも微積分に関する問題は、大学の解析学の基本となるものですから、重要視されています。
計算の面倒な問題も多いですから、丁寧に答案を書くようにしましょう。ただし、時間を忘れてはいけません。2016年最後の問題で有終の美を飾り、来るべき2017年を迎えましょう。頑張れ、受験生。

数Ⅲの微積分問題

【問題1】

\(0\)以上の整数\(n\)に対して、次の関数\(f_n(x)＝x^nｅ^{1-x}\)および定積分\(a_n＝\displaystyle \int_{0}^{1} f_n(x) dx\)を考えます。

(1)　\(n≧1\)に対して、区間　\(0≦x≦1\)において、\(0≦f_n(x)≦1\)および　\(0＜a_n<1\)が成り立つことを示してください。
(２)　\(a_1\)を求めてください。また、\(n>1\)で、\(a_n，a_{n-1}\)の間に成り立つ漸化式を求めてください。
(3)　\(e\)が無理数であることを示してください。
（大阪大学）

【解答1】

(1)　\(0≦ｘ≦1\)において、
\(f_n'(x)＝(n-x)ｘ^{n-1}e^{1-x}≧0\)　より\(f_n(x)\)は、区間で単調増加します。よって、\(0＝f_n(0)≦f_n(x)≦f_n(1)＝1\)
上式で、等号は、\(x=0　または１\)のとき以外は成立しないので、
\(\displaystyle \int_{0}^{1}0dx<\displaystyle \int_{0}^{1} f_n(x) dx<\displaystyle \int_{0}^{1}1dx\)
従って、\(0＜a_n<1\)
(2)　\(n≧1\)で
\(a_n＝\displaystyle \int_{0}^{1} f_n(x) dx＝－1+na_{n-1}\)････････①　で　\(a_0＝\displaystyle \int_{0}^{1} e^{1-x}dx=e－1\)
より、\(a_1＝e－2\)
(3)　\(e\)が無理数でないと仮定すると、\(e=p/q　(p,qは整数，q≠0)\)とかけます。①式より、\(qa_n＝－q+n(qa_{n-1}\)であり、
\(qa_1＝q(e－2)＝p－2q＝整数\)なので、\(qa_n\)は整数となります。\(qa_n≠0\)より、\(\vert qa_n \vert≧1\)
また、(2)より、\(a_{n-1}＝(a_n+1)/ｎ\)　さらに(1)より、\(a_{n-1}<2/n\)となります。
従って、\(0<qa_n<2q/(n+1)\)　これに、\(n→∞\)とすれば、\(qa_n→0\)となり、矛盾となります。よって、\(e\)は無理数ということになります。

(注)　\(e\)の無理数性まで示させる高度な問題です。

【問題2】

定積分\(\displaystyle \int_{0}^{π} (e^{-x}－ｐcosx-ｑsinx)^2 dx\)　の値を最小にする実数\(p,q\)の値を求めてください。

（筑波大学）

【解答2】

計算あるのみです。正確でスピーディーな計算力を養っておきましょう。

\(\displaystyle \int_{0}^{π} (e^{-x}－ｐcosx-ｑsinx)^2 dx\)は、括弧のなかを計算し、積分すれば\(p,q\)の式になります。

\(\displaystyle \int_{0}^{π} (e^{-x}－ｐcosx-ｑsinx)^2 dx\)
＝\(π/2p^2+π/2q^2－(1+e^{-π})p－(1+e^{-π})q+1/2(1－e^{-２π}\)となりますから、
\(p=q=(1+e^{-π})/π\)のときに、最小となります。

【問題3】

\(x≧0\)を定義域とする関数列　\(f_0(x),f_1(x),･･････････f_n(x),･･････････\)を次のように定めます。

\(f_0(x)＝1,　f_n(x)＝\displaystyle \int_{0}^{x} f_{n-1}(x)/(t+1)dx　(n≧1)\)

(1)　\(f_1(x)，f_2(x)，f_3(x)\)を求めてください。
(2)　\(f_n(x)\)をもとめてください。
(3)　曲線\(y=f_n(x)　(n≧1)\)、直線\(x=a(a>0)\)および\(x軸\)で囲まれる図形の面積を\(S_n(a)\)とします。
このとき、次式　\(S_n(a)+S_{n+1}(a)＝(a+1)/(n+1)!\)を満たす\(a\)の値を求めてください。
(4)　無限級数　\(\displaystyle \sum_{k= 1 }^{∞} (－1)^k/k!\)の値を求めてください。
（東京医科歯科大学）

【解答3】

略解のみ（詳解は、2017年お正月に公開します。）
(1)　\(f_1(x)＝log(x+1)，f_2(x)＝1/2(log(x+1))^2，f_3(x)＝1/6(log(x+1))^3\)
(2)　\(f_n（ｘ)＝1/n!(log(x+1))^n\)
(3)　\(a=e－1\)
(4)　\(\displaystyle \sum_{k= 1 }^{∞} (－1)^k/k!＝1/e－1\)

【詳解】
(1)　\(f_1(x)＝\displaystyle \int_{0}^{x}1/(t+1) dt＝log(x+1)\)
\(f_2(x)＝\displaystyle \int_{0}^{x}log(t+1)/(t+1) dt＝1/2･(log(x+1))^2\)
\(f_3(x)＝\displaystyle \int_{0}^{x}(log(t+1))^2/2(t+1) dt＝1/6･(log(x+1))^3\)

(2)　\(f_n(x)＝1/n!･(log(x+1))^n\)と予想できますから、数学的帰納法で容易に証明できます。やってみましょう。

(3)　\(f_n(0)＝0，x>0でf_n(x)>0\)だから、
\(S_n(a)+S_{n+1}(a)＝1/n!･\displaystyle \int_{0}^{a}(log(t+1))^ndx+1/(n+1)!･\displaystyle \int_{0}^{a}(log(t+1))^{n+1}dx\)
=\((a+1)/(n+1)!･(log(a+1))^{n+1}\)　となりますから、

条件式から、\((a+1)/(n+1)!･(log(a+1))^{n+1}＝(a+1)/(n+1)!\)

従って、\((log(a+1))^{n+1}＝1\)　となります。\(log(a+1)>0\)より、\(log(a+1)＝1\)　よって、\(a=e-1\)

(4)　当然１～３がヒントになっています。無限級数の和をどうやって求めるのか。挟み撃ちがにおいます。

(3)より\(a=e-1\)のときに、\(e/n!＝S_{n-1}(a)+S_{n}(a)\)
よって、\(\displaystyle \sum_{k= 1}^{n} (－1)^k/k!\)
＝\(1/e･\displaystyle \sum_{k= 1 }^{n} (－1)^k(S_{k-1}(a)+S_k(a)\)
また、\(\displaystyle \sum_{k= 1}^{n} (－1)^k(S_{k-1}+S_k\)
＝\(－S_0+(-1)^nS_n\)　より
\((\displaystyle \sum_{k= 1 }^{n} (－1)^k/k!＝1/e･(－S_0(a)+(-1)^nS_ｎ(a)\)
\(S_0＝e-1\)で、\(f_n(x)はx≧0\)で単調増加だから、
\(0≦S_n(a)＝1/n!･\displaystyle \int_{0}^{a}(log(x+1))^ndx≦a/n!･(log(a+1))^n＝(e-1)/n!\)
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (e-1)/n!＝0\)より、\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }S_n(a)＝0\)

よって、\(\displaystyle \sum_{k= 1 }^{∞} (－1)^k/k!=1/e･(－S_0(a))＝1/e･(1-e)＝1/e－1\)