文系入試問題－解答編－

文系入試問題

国立大学の文系学部でも数学が課されています。最近では、統計学や解析学を必要とする学科が文系でも増えてきました。
論理的な考え方を習得すること,大学に入ってから困らないようにしっかり数学も演習をしましょう。(一橋大学）

文系入試問題演習

【問題1】

正の整数　\(n\)　の各位の数の和を　\(S(n)\)　であらわします。例えば\(S(3)=1、S(10)=2、S(516)=12\)　です。
（１）\(n≧10000\)　のとき、\(n＞30S(n)+2020\)　であることを、示してください。
（２）\(n=30S(n)+2020\)　を満たす　\(n\)　を全てもとめてください。

【解答1】

（１）\(n=a_{k-1}10^{ｋ-1}+a_{k-2}10^{k-2}+･･･････+a_1･10+a_0\)　とおきます。ただし　\(a_k\)　は　\(0～9\)　の整数で、\(a_{k-1}≠0、
n≧10000＝10^4\)　だから、\(k≧5\)　です。
定義より、\(S_n＝a_{k-1}+a_{k-2}+･･････+a_1+a_0\)　だから　
\(ｎ－30・S_n－2020＝(10^{k-1}-30)a_{k-1}+････\)
+\((1-30)a_0－2020≧\)
\((10^{k-1}-30)a_{k-1}－(20a_1+29a_0+2020）\)
ここで、\(k≧5、a_{k-1}≧1\)　だから
\((10^{k-1}-30≧9970\)
\( 20a_1+29a_0+2020）≦20・9+29・9+2020＝2461\) 　　　　　　　
よって、 \(ｎ－30・S_n－2020 ≧9970－2461＞0\)
(2)　(1)より、 \(ｎ＝30・S_n+2020 ＝0\)でありこれを満たすのは
　　\(n＜10000\)　で、\(1\)の位は、\(0\)
　　\(n=a_3･10^3+a_2･10^2+a_1・10\)　と書くことができ
　　 \(ｎ－30・S_n－2020 =970a_3+70a_2－20a_1－2020\)
　　よって、\(97a_3+70a_2＝2a_1+202\)
　　ここで、\(0≦7a_2≦7･9＝63\)　より、\(a_3＝2\)
　　従って、\(7a_2＝2a_1+8\)
　　よって、\(a_1=3、a_2＝2\)
　　答えは、\(n=2230\)

【問題2】

\(－1≦ｔ≦1\)とし、曲線　\(y=(x^2－1)/2\)　の　\(x=t\)　における接線を　\(l\)　とします。
半円　\(x^2+ｙ^2＝1(y≦0)\)　と　\(l\)　で囲まれた部分の面積を　\(S\)　とするとき、そのとりうる範囲を求めてください。

【解答2】

接線　\(l\)　の方程式は、\(2ty－2ｙ－ｔ^2－1＝0\)
円の中心　\(O\)　から接線　\(l\)　への垂線の長さを　\(d\)　とすると
\(d=\sqrt{t^2+1}/2\)　で　\(－1≦t≦1\)　だから
　\(1/2≦d≦\sqrt{2}/2\)　
半円の中心からの距離が大きくなるとその囲む面積は大きくなります。
よって、\(π/4-1/2≦S≦π/3-\sqrt{3}/4\)


【問題3】

\(3個\)　のさいころを同時に投げます。
（１）出た目の積が　\(6\)　となる確率をもとめてください。
（２）出た目の確率が　\(1/k\)　となる確率が　\(1/36\)　となる　\(k\)　を全て求めてください。

【解答3】

（１）3個のサイコロを区別できるものとします。全部の場合の数は、\(6^3\)　通りです。
　このうち、出た目の数の積が　\(6\)　になるのは、\((1,1,6)、(1,2,3)\)　の2通りです。
　よって、並べ方を考慮して、\(3+3！＝9\)通り
　確率は、\(9/6^3＝1/24\)

【問題4】

\(p,q\)　を正の実数とします。原点を　\(O\)　とする直交空間座標の　\(3点\)　\(P(p,0,0),Q(0,q,0),R(0,0,1)\)　は　\(∠PRQ=π/6\)　を満たします。四面体\(OPQR\)　の体積の最大値を求めてください。

【解答4】

\(四面体OPQRの体積＝1/6pq\)
\(△PQR\)　において　\(∠PRQ＝π/6\)　であるから余弦定理から
\(p^2+q^2＝p^2+1+q^2+1－2.\sqrt{p^2+1}\sqrt{q^2+1}cosπ/6\)　から
\(p^2+ｑ^2＝1/3－p^2q^2\)
また、\(p,q\)　は正の実数だから、
\(1/3－p^2q^2＝p^2+q^2≧2pq\)　これより
\(0＜pq≦(－3+2\sqrt{3})/3\)
従って、\(正四面体OPQR≦(－3+2\sqrt{3})/18\)
等号成立は、\(p=q\)　で　\(\sqrt{(-3+2\sqrt{3})/3}\)　であるから
求める体積の最大値は、\( (－3+2\sqrt{3})/18\)

【問題5】

\(a\)　を実数とし、\(f(x)＝ｘ－ｘ^3、g(x)＝a(ｘ－ｘ^2)\)　とします。\(y=f(x)、y=g(x)\)　は　\(0<x<1\)　に共有点を持つとします。
（１）\(a\)　のとりうる値の範囲を求めてください。
（２）\(y=f(x)　と　y=g(x)\)　で囲まれた　\(2\)　つの部分の面積が等しくなるような　\(a\)　を求めてください。

【解答5】

（１）\((g(x)－f(x)＝x(ｘ－1)(ｘ－(a-1))\)　だから、\(0<x<1\)　に共有点を持つのは、\(0<a-1<1\)　⇔　\(1<a＜2\)

（２）2つの部分の面積が等しくなるのは、
　　 \(\displaystyle \int_{0}^{1}(g(x)－ f(x)) dx＝0\)
　　 \(\displaystyle \int_{0}^{1}(g(x)－ f(x)) dx ＝1/6･a－1/4=0\)
　　よって、\(a＝3/2\)　

Follow me!