素数に関する問題

素数について

前回に素数に関する現在知られている定理やまだ未解決の問題について書いてきました。今回は、素数研究の現状を踏まえ素数に関する問題をあげてみました。もちろん全て解決済み（解ける）の問題ですから、安心して解答にあたってください。入試問題などは全て解ける問題であり、必ず誰かが解いた問題ですから、精神的な圧迫感を持たずに解くことができるはずです。入試問題などはそう言う類の問題なのです。頑張れば頑張っただけのリターンがあるはずです。

整数に関する記号を次のように示しておきます。整数\(a,b\)について、\(a\)が\(b\)で割り切れるとき、すなわち\(a\)が\(b\)の倍数であるとき
これを、\(aｌb\)、最大公約数を\((a,b)\)、最小公倍数を、{a,b}と書きます。\((a,b)＝1\)は、\(a,b\)が互いに素であることは、すぐに分かると思います。

素数に関する問題

【問題1】

\(a,b,c,d\)を整数とします。\(ad-bc=1\)であるとき、分数\((a+b)/(c+d)\)は規約分数であることを示してください。

【問題2】

\(n\)を自然数とすると、\(4n+3\)の形の素数も、\(6n+5\)の形の素数も、無限に存在することを示してください。

【問題3】

素数全体の数列　\(２，3，5，････････････\)　の続く２つの奇素数を\(p,q\)とします。このとき\(p+q\)の素因数分解は、少なくとも\(3\)つ（同じものがあってもよいとします。）の素数を含むことを示してください。

【問題4】

\(n\)を任意の整数とするとき、\(n^2+1\)の奇数の素因数は、\(4k+1\)の形であることを示してください。

【問題5】

\(x^2－3y^2＝17\)は整数解を持たないことを示してください。