一日一題-その3-解答編-

もうすぐ2次試験です。軽い数学演習をやってみましょう。

【問題】

1平面上にの2点　\(P(x,y)、Q(X,Y)\)　の間に

\(X=x/(x^2+y^2)、Y＝ －y/(x^2+y^2) \)　の関係があるとします。

このとき、点　(P(x,y))　が不等式
\((4x+3y－5)(4x－3y+5)＞0\)　の範囲を動くとき、\(Q(X,Y)\)　の動く範囲を
求めてください。
（東京大学）

【解答】

\(X=x/(x^2+y^2)、Y＝ －y/(x^2+y^2) \) から、
\(X^2+Y^2＝1/(x^2+y^2)\)
よって　\(x=X/(X^2+Y^2)、ｙ＝－Ｙ/(Ｘ^2+Ｙ^2)\)　だから
これらを与えられた不等式に代入すると、
\(X^2+Y^2－4/5X+3/5Y)(X^2+Y^2+4/5X+3/5Y)＜0\)
求める範囲は、\(2\)　の円の内部です。ただし周は含みません。

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