私立医科大学の問題-日本医科大-

難関医科大学の数学の問題

日本医科大は、私立大学の医学部としてレベルの高い大学です。日本医科大学の数学の問題は、私立大学ではそれ程ないのですが、全て記述式の問題となっており、難し目の問題として定評があります。理工学部ならそれ程不思議でもありませんが、ここまでの数学の能力を医学部が要求するのか若干の疑問もあります。しかしながら、合格者を選ぶという意味では、問題も難しくならざるを得ないのかもしれません。

日本医科大学の数学の問題

【問題1】

放物線\(y=x^2-nx\)と直線\(y=mx\)で囲まれた部分を\(D_n\)とします。
ただし、\(n,m\)は、\(n>1,m>0,n>m,n>1/m\) を満たす実数の定数とします。
【1】\(D_n\)を\(x\)軸のまわりに回転してできる回転体の体積\(V_n\)を\(n,m\)で表してください。
【2】\(D_n\)を直線\(y=mx\)のまわりに回転して出来る回転体の体積\(W_n\)を\(n,m\)で表してください。
【3】\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } V_n/W_n\)を求めてください。

【問題2】

次の極限値を求めてください。結果はなるべく簡単な形で求めてください。

【1】\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } {1/(n+1/2)+1/(n+2/2)+1/(n+3/2)+・・・・・・・・1/2n}\)

【2】\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } {1/(n+1/2)+1/(n+3/2)+1/(1n+5/2)+・・・・・・・+2/(6n-1)}\)

【3】\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }({(1+sinnπ/2n)^{sinnπ/n}・(1+sin(n+1)π/2n)^{sin(n+1)π/n}・・・・・・・・(1+sin3π/4)^{sin3π/2}}^{1/n})\)

【問題3】

\(O\)を原点とする座標平面において、点\((x,y)\)が3つの不等式

\(y≧1/2・x-1,y≧2x-7,y≦-x^2+8x-12\)

を満たしているとします。

【1】\((y+1)/(x+1)^2\)の最大値、最小値とそれを与える\(x,y\)を求めてください。

【2】\((y+1)/(x+1)^2+(x+1)^2/(y+1)\)の最大値、最小値を求めてください。

【問題4】

正三角形\(ABC\)の頂点上を点\(P\)が次の2つの規則に従って移動するものとします。

①時刻\(0\)では、\(P\)は\(A\)にいます。
②1秒ごとに、\(P\)は確率\(1/4\)で今いる頂点にとどまり、等確率で今いる頂点以外の2頂点のどちらかに移動します。

\(n\)秒後に\(P\)が\(A\)にいる確率を\(p_n\)とし、\(p=\displaystyle \lim_{ n \to \infty } p_n\)とします。

【1】\(p_n\)を\(n\)を用いて表してください。
【2】\(p\)を求めてください。
【3】不等式\(\vert{p_n-p}\vert<5^{-20}\)を満たす最小の\(n\)を求めてください。\(\log_{10 } 2=0.3010,\log_{10} 3=0.4771\)とします。

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