ラマヌジャンに関する問題－整数問題としての解答－

ラマヌジャン由来の問題

以前、インドの天才数学者について書きましたが、ラマヌジャンに由来する問題を提示しました。その解答をここに書いておきます。

【問題】

ａ、bを２以上の自然数とするときに、次の等式を成り立たせるa,bを求めてください。

　　\(ａ^3 + 1^3＝b^3 + 10^3\)･･･････　(1)　　　（一橋大）

問題の解法

（１）式を変形すると、\(ａ^3－ｂ^3＝９９９\)　これより左辺を因数分解右辺を素因数分解すると

\(（ａ－ｂ)・(ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）＝３^3・３７\)･････(2) となります。

ここで、\((ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2)\)－（ａ－ｂ）＝\(ａ^2+ｂ^2\)＋ａｂ－ａ＋ｂ＝\(ａ^2＋ｂ＾2 \)＋（ａ＋１)(ｂ－１）＋１　となります。

\(a^2≧０、b＾2≧０\)、（ａ＋１)(ｂ－１)>０（ａ、ｂ≧２）だから、上式から、\(ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2＞ａ－ｂ\)･･････（３）　が成り立ちます。そこで（２）より、\(３^3＝２７\)と３７は互いに素ですから、ａ－ｂが３の倍数でなければ、ａ－ｂ＝３７、\(ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2＝２７\)となり、（３）に反します。従って、ａ－ｂは３の倍数であることが分かります。

①　ａ－ｂ＝３、\(ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2＝３３３\)　これよりａを消去すると

\(ｂ＾2＋３ｂ－１０８＝０\)　より（ｂ－９)（ｂ＋１２）＝０、ｂ≧２から、ｂ＝９よってａ＝１２　　　このとき、（ａ，ｂ）＝（１２，９）

②　ａ－ｂ＝９、\(ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2＝１１１\)　これから、\(ｂ^2＋９ｂ－１０＝０\)から、（ｂ＋１０)（ｂ－１）＝０、ここで、ｂ≧２より不適

③　ａ－ｂ＝２７、\(ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2＝３７\)　これを満たすｂは存在しない。

以上より、求める（ａ，ｂ）＝（１２，９）です。

問題の答えの意味

（ａ，ｂ）＝（１２，９）のときは、\(１２^3＋１^3\)＝\(９^3＋１０^3\)＝１７２９となります。ラマヌジャン病院に入院していたときに先生のＨａｒｄｙがお見舞いに言った時に、Ｈａｒｄｙの言ったのは、「今日乗ってきたタクシーのナンバーは、１７２９でつまらない数字だった」だったのです。その瞬間ラマヌジャンは、「先生１７２９は、とても面白い数ですよ。３乗の和に２通りに表せる最小の自然数です。」と。驚異的な直観力です。これ以来、このような数字をタクシー数と言う様になりました。

後日談

この話には続きがあって、ハーディーは、４乗で同じような数字はあるのか、と聞きました。ラマヌジャンはしばらく考えていましたが、多分あると思うが、数字が大きすぎて今は分からないといったそうです。

ラマヌジャンの直感は正しくて、以下のことが分かっています。

６３５３１８６５７ = \(１３４^4 + １３３^4 = １５８^4 + ５９^4\)