高次方程式について－解答編－

受験数学の高次方程式

受験数学の高次の方程式は、５次くらいまでが限界です。円周等分方程式であれば、\(ｎ \)次は解けます。

高次方程式の解法は、リンクにあります。高次方程式の解法

 

高次方程式の解答

【問題１】

実数係数の整式　\(P(ｘ)\)に対して、\(ｘ－i\)で割ったときの余りが３のと
き、 \(Ｐ(x)\)を\(ｘ＋ｉ\)で割ったときの余りを求めてください。

【解答１】
まず、複素数\(z\)に対して、\(\overline{ z }\)　を考えると、
\(ｚ^n＝(\overline{ z })^n\)　が成り立ちます。

よって、\(P(x)＝ａ_0ｘ^n+････････+ａ_n\)　とおくと、
\(P(z)＝ａ_0ｚ^n+････････+ａ_n＝0\)ならば、

\(P(\overline{ z })＝\overline{ａ_0ｚ^n+････････+ａ_n＝0 }\) となり
ます。

よって、\(P(x)=0の解がｚなら、\overline{ z }\)　も解となります。････①

従って、\(P(x)を　x-i\)　で割った余りが、３だから、 \(P(i)＝３\)　となりま
す。

よって、\(Q(x)＝P(x)－３\)とおくと、 \(Q(i)＝0\)となり、
\(x=i\)は、\(Q(x)＝０\)の解です。

①から、\(\overline{i}＝－ｉ\)も解となります。

従って、\(P(x)を　ｘ＋ｉ\)　で割った余りは、３となります。

【問題２】

\(p,q\)を実数。\(ｑ≠0\)とします。\(ｐ+ｑi\)が、
方程式\(ｘ^3+ｐｘ+10＝0\)の解であるとき、\(p,q\)を求めてください。　　　（大阪大）

【解答２】

条件より、\(ｘ＝ｐ+ｑｉ\)を代入して整理すると、

\(ｐ^3－３ｐｑ^2+ｐ^2+10＋ｉ(3ｐ^2ｑ－ｑ^3+ｐｑ)＝0\)

\(ｐ、q\)は実数で、\(ｑ≠0\)ですから、

\(ｐ^3－３ｐ^2ｑ+ｐ^2+10＝0\)･･･････①
\(3ｐ^2－ｑ^2+ｐ＝0\)･･･････②

②から、\(ｑ^2＝3ｐ^2+ｐ\)･･････③
③を①に代入すると、
\(4ｐ^3+ｐ^2－5＝0\)
よって、\((ｐ－1)(4ｐ^2+5ｐ+5)＝０\)

\(ｐ\)は実数だから、\(p=1、ｑ＝±２\)

【問題３】

複素数\(1＋ｉ\)を１つの解とする次数係数の３次方程式
\(ｘ^3+ａｘ^2+ｂｘ+ｃ＝0\)････①　とします。

(1)方程式①の実数解を\(a\)を用いてあらわしてください。

(2)①と\(ｘ^2－ｂｘ＋3＝0\)･････②がただ１つの共通解を持つとき、 定数\(a,b,c\)を求めてください。

（静岡大）

【解答３】

計算を正確にやりましょう。

(1)\(1+ｉ\)が①の解ですから,\(1－i\)も解となります。よって、①は、
\(ｘ^2－2ｘ＋2\)で割り切れます。実際に割り算をして、
\(ｂ＝－２ａ－2、ｃ＝２ａ+4\)　となります。

このとき、①は、\((ｘ^2－2ｘ＋2)(ｘ+ａ+2)＝０\)
よって、実数解は、\(－２ａ－2\)

(2)①と　②　が共通解を持つときは、(1)より、\(－ａ－2\)だけです。
よって、②に代入して、
\(ａ^2+２ａ－３＝0\)　から、\(a＝1、－3\)

従って、\((x,y,z)＝(1,-4,6)、(-3、4、-2）\)