ガウス記号の問題－解答編

ガウス記号について

ガウス記号[x] は、ｘを越えない最大の整数値を表します。定義から、ｙ＝[x] は、ｘ＝ｎ（ｎは整数）で不連続な関数となります。ガウス記号の問題の解答を書いておきます。

問題の解答

【問題１】

ａk＝[3k/5] (k=1,2,3･･･････)とおきます。

（１）ａk+5＝ａk＋３（k＝1,2,3･･････）を示してください。

（２）Σ(k=1～5n)ａk　を求めてください。（三重大改）

【解答１】

三重大の問題は、最初に、ａ1、ａ2、ａ3、ａ4、ａ5を求めさせています。

（１）ａn+5＝[3(k+5)/5]=[3k/5+3]=[3k/5]+3 となります。従って

ａn+5＝ａn+3　となります。（n=1,2,3･･････）

（２）bk＝ａ5k-4+ａ5k-3+ａ5k-2+ａ5k-1+ａ5ｋ　とおくと

ｂ1＝７、bk+1＝(ａ5k-4+3)+(a5k-3+3)+(a5k-2+3)+(a5k-1+3)+(a5k+3)=bk+15 となります。よって、bk+1＝bk+15ですから、等差数列で、bk＝15k-8　となります。

従って、Σ(k=1~5n)ak＝Σ(k=1~n)bk＝Σ(k=1~n)(15k-8)＝1/2･n(15n-1）となります。

【問題２】

ｎを自然数とするときに、ａｎ＝Σ(k=1～n)[√(2ｎ^2－ｋ^2)]/ｎ^2とおきます。このとき、lim(n→∞)ａnを求めてください。（大阪大）

【解答２】

[x] の定義から、√(2ｎ^2－ｋ^2)－１＜[√(2ｎ^2－ｋ^2)]≦√(2ｎ^2－ｋ^2)　が成り立ちますから、

｛√(2ｎ^2－ｋ^2)－１}/ｎ^2＜[√(2ｎ^2－ｋ^2)]/ｎ^2≦√(2ｎ^2－ｋ^2)/ｎ^2　････････①　となります。

①式で、ｎ＝1,2,3･･････として、加えると

1/ｎ･Σ(ｋ＝1～n）√(２－(k/n)^2－1/ｎ＜ａｎ≦1/ｎ･Σ(ｋ＝1～n）√(２－(k/n)^2　･･････②

②で、ｎ→∞とすれば、1/ｎ→０ですから、②から、挟み撃ちの原理から，ａn＝lim(n→∞)1/ｎ･Σ(ｋ＝1～n）√(２－(k/n)^2＝∫(0～1)√(２－ｘ^2)･dx････③　ｘ＝√2・sinθと変数変換して、置換積分すると、

∫(0～1)√(２－ｘ^2)･dx＝π/4＋1/2　　･･････（答）

（解法の指針）　ガウス記号の不等式による評価と、区分求積法による積分値を求める融合問題です。２分野が複合しているので、やや難しいかもしれません。

 

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