ガウス記号の問題-解答編
ガウス記号について
ガウス記号[x] は、xを越えない最大の整数値を表します。定義から、y=[x] は、x=n(nは整数)で不連続な関数となります。ガウス記号の問題の解答を書いておきます。
問題の解答
【問題1】
ak=[3k/5] (k=1,2,3・・・・・・・)とおきます。
(1)ak+5=ak+3(k=1,2,3・・・・・・)を示してください。
(2)Σ(k=1~5n)ak を求めてください。(三重大改)
【解答1】
三重大の問題は、最初に、a1、a2、a3、a4、a5を求めさせています。
(1)an+5=[3(k+5)/5]=[3k/5+3]=[3k/5]+3 となります。従って
an+5=an+3 となります。(n=1,2,3・・・・・・)
(2)bk=a5k-4+a5k-3+a5k-2+a5k-1+a5k とおくと
b1=7、bk+1=(a5k-4+3)+(a5k-3+3)+(a5k-2+3)+(a5k-1+3)+(a5k+3)=bk+15 となります。よって、bk+1=bk+15ですから、等差数列で、bk=15k-8 となります。
従って、Σ(k=1~5n)ak=Σ(k=1~n)bk=Σ(k=1~n)(15k-8)=1/2・n(15n-1)となります。
【問題2】
nを自然数とするときに、an=Σ(k=1~n)[√(2n^2-k^2)]/n^2とおきます。このとき、lim(n→∞)anを求めてください。(大阪大)
【解答2】
[x] の定義から、√(2n^2-k^2)-1<[√(2n^2-k^2)]≦√(2n^2-k^2) が成り立ちますから、
{√(2n^2-k^2)-1}/n^2<[√(2n^2-k^2)]/n^2≦√(2n^2-k^2)/n^2 ・・・・・・・・① となります。
①式で、n=1,2,3・・・・・・として、加えると
1/n・Σ(k=1~n)√(2-(k/n)^2-1/n<an≦1/n・Σ(k=1~n)√(2-(k/n)^2 ・・・・・・②
②で、n→∞とすれば、1/n→0ですから、②から、挟み撃ちの原理から,an=lim(n→∞)1/n・Σ(k=1~n)√(2-(k/n)^2=∫(0~1)√(2-x^2)・dx・・・・③ x=√2・sinθと変数変換して、置換積分すると、
∫(0~1)√(2-x^2)・dx=π/4+1/2 ・・・・・・(答)
(解法の指針) ガウス記号の不等式による評価と、区分求積法による積分値を求める融合問題です。2分野が複合しているので、やや難しいかもしれません。
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