確率の問題－難関大・解答編

確率に関する問題

難関大の確率の問題の解答を示します。余事象の考え方、条件付確率の考え方、計算の工夫の仕方が大切です。問題のリンクは、次にあります。確率の問題-難関大

確率に関する問題の解答

【問題１】 白球15個と赤球4個が箱の中に入っているものとします。この箱から球を１個とりだす操作を繰り返すものとします。取り出した球はもとにもどしません。\(ｎ\)回目に取り出した球が３個目の赤球である確率を、\(p_n\) とします。\(p_n\)が最大になる\(n\)を求めてください。（一橋大）

【解答１】 \(p_n\)は、\(n－1\)回目までに、白球が\(n－3\)個、赤球\(2\)個を取り出し、\(n\)回目に赤球を取り出す確率です。条件から、\(3≦n≦18\)です。･･･････①　このもとに、取り出した球を、1列に、19個並べる順列と考え、条件を満たすものの個数を、\(a_n\)とすると、\(a_n＝{}_{n-1} \mathrm{ C }_2・{}_{19-n} \mathrm{ C }_1＝1/2･(n－1)(n－2)(19－n)\)　となります。全ての場合の数は、\({}_{19}\mathrm{ C }_4＝3876\)ですから、\(p_n＝a_n/3876＝1/7752・(n－1)(n－2)(19－n)\)です。ここで、\(f(n)＝(n－1)(n－2)(19－n)\)とすると、\(f(n)\)の最大となる\(n\)を求めればいいことになります。簡単な計算から、\(3≦n≦12のとき、f(n)＜f(n+1)\)また、\(13≦n≦18のとき、f(n)＞f(n+1)\)　となりますから、\(f(3)<f(4)<･････＜f(13)＞f(14)＞･･･････＞f(18)\)となり、求める\(n\)は、\(13\)です。

【問題２】 ある硬貨を投げるときに、表と裏が出る確率を\(1/2\)とします。この硬貨を１０回投げて、\(n\)回目に表がでたら、\(x_n＝1\)、裏がでたら　\(x_n＝－1\) とします。 \(s_n＝x_1+x_2+････････+x_n\)　　\((1≦ｎ≦10）\)とおきます。 \(s_1＝1かつs_10＝2かつs_k＝0\)となる\(ｋ(2≦ｋ≦8)\)が少なくとも１つ存在する確率を求めてください。 （東京大学）

【解答２】

\(s_1＝1かつs_10＝2かつs_k＝0\)となる\(k(2≦ｋ≦8)\)が少なくとも１つある場合の数と、\(s_1＝－1かつs_10＝2\)となる場合の数は同数となります。ここで、\(s_1=－1かつs_10＝2\)である確率を求めると、\(x_1=－1\)かつ残りが、裏3回、表6回出る場合ですから、この確率は、\(1/2･{}_9\mathrm{ C }_3･(1/2)^3･(1/2)^6＝21/256\)　よって、答えは、\(21/256\)です。

【問題３】 5回に1回帽子を忘れる癖のある\(T\)君が、正月に\(A,B,C\)の３軒を順に年始周りをして家に帰ってきました。家に帰ったときに帽子を忘れたことに気がつきました.\(T\)君が２番目の家\(B\)に帽子を忘れてきた確率を求めてください。（早稲田大）

【解答３】

\(T\)君が、帽子を忘れてくる確率は、余事象を考えて、\(1－(4/5)^3＝61/125\)です。また、\(T\)君が、2番目の\(B\)の家に帽子を忘れる確率は、\(4/5･1/5＝4/25\)
よって、求める確率は、条件付確率を考えて、\((4/25)/(61/125)＝20/61\)となります。