複素平面-ガウス平面の扱い方-
複素平面について
複素平面は、新課程になって行列の代わりに入ってきた単元ですが、複素平面の考え方は、ベクトルにも通じるものもありますし、物理学とも関係があります。
また、座標平面と同様に極形式も考えます。複素数そのものは、電磁気学や波動力学、量子力学などにも多く使われます。大学に入ってもいろんな場面で使われていますので、基礎をしっかり理解し、応用問題にも備えてください。
複素平面の問題
【問題1】
複素平面上に0と異なる3点\(z_1、z_2、z_3\)があり、次の条件を満たしているとします。
(A)\(argz_1=argz_2+120°\)
(B)点\(z_3\)は、2点\(z_2、z_3\)を通る直線に関して点0と反対側にあります。
(C)\(△z_1z_2z_3は、正3角形です。
(1)\(α=cos60°+isin60°\)とするとき、
\(αz_1=pz_2、αz_3=sz_1+tz_2\)となる実数\(p,q,s,t\)をそれぞれ
\(lz_1l、lz_2l\)を用いてあらわしてください。
(2)\(z_3=az_1+bz_2\)となる実数\(a,b\)をそれぞれ、\(lz_1l、lz_2l\)を用いてあらわしてください。
(一橋大)
【問題2】
(1)複素数\(z=x+yi、x、yは実数\)を\(z+1/z\)が実数となるように
動かすとします。\(x^2・y+4y^3\)の最大値を求めてください。
(2)座標平面上の各点\(P(x,y)\)に対して、
複素数\(z=(x+y-1/2)+(x-y)i\)を考えます。
このとき、\(z^2+1/z^2\)が実数となるような点\(P(x,y)\)を求めて
ください。
(東京医科歯科大)
【問題3】
平面上に直線lとl上にない点Aをとります。
直線l上に点Bを線分ABと直線lが直交するようにとり、点Bを中心として直線lを角度θだけ回転して得られる直線をmとします。
直線 l 上にない点Pをとり、直線lに関してPと対称な点をQとします。また、点Aを中心として点Qを2θだけ回転して得られる点をRとします。
このとき、線分PRの中点Mは直線m上にある事を証明してください。
(大阪大)