アイのある数学 -あったかいんだから-
アイのある数学を知っていますか
数学にはアイがあります。パイもあります。とってもあったかいんだから~。アイは、i ですねん。i = √-1ですね。そうして、直交座標軸において、x軸を実数軸、y軸を虚数軸とすれば、複素平面が出来上がるわけです。a,bを実数とするとき、z=a+bi を複素数と定義し、(a,b)を複素平面上の点と考えるのです。ガウスが最初に考えた平面です。実数のセット(a,b) と考えるわけですから、P(a,b) は原点を始点とし、Pを終点とするベクトルと考えることも出来ます。
複素平面(ガウス平面)について
このように、複素平面は、複素数Z=a+bi(a,bは、実数)として複素平面上の点としてあらわすことが出来ます。共役複素数として、a-biが考えられます。\(lzl^2\)=\(a^2+b^2\) となります。座標で極座標がありますが、複素数も極形式が同様に定義できます。複素平面上でP(z)であらわされる点Pは、OP=r、x軸(実軸 x>0)となす半時計方向の角をθとすると、z=r(cosθ+isinθ)という極形式であらわすことが出来ます。z1=r1(cosθ1+isinθ1)、z2=r2(cosθ2+isinθ2)とすると、z1・z2=r1・r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2))となります。また、ド・モアブルの定理も重要な公式です。z=r(cosθ+isinθ)の時に、\(z^{n}\)=\(r^{n}\)(cosnθ+isinnθ)とあらわされます。ド・モアブルもよく使いますから、しっかり理解しておきましょう。
アイのある公式
複素数には、アイがありますが、パイもあります。さらにeもあります。つまり、\(e^{πi}\)+1=0 となります。これは、オイラーの式とも言われておりますが、美しい数式としても有名です。この公式はあったかいんです。
下にあったかいもののリンクがあります。
複素平面の問題
zを絶対値が1の複素数とします。このとき下記の問いに答えてください。
nを自然数とします。\(z^{n}\)+1の絶対値が1となるようなzを全て掛け合わせて得られる複素数を求めてください。